益智课堂《汉诺塔》教学感悟
汉诺塔游戏，起源于古印度的一个传说，这一堂从游戏中开始的数学课，将一改有些学生认为“数学很枯燥的”的想法，通过让学生自己动手去体验，不仅是在学习数学知识，更是在训练数学思维。揭开的不仅是谜底，更是想教给学生如何学好数学的一种方法，主要探析课堂教学中如何培养学生的思维能力，促进数学核心素养的提升。
一、优化任务，培养数学表征能力
器具“汉诺塔”是由8个环片按大小依次叠放在有三根立柱的支架上，因形如塔状而得名，主要解决这一问题困境：在一次只能移动一个环片、大环不能压在小环上的操作规则中，如何借助b柱（过渡柱），把a柱（起始柱）的环片依次挪移到c柱（目标柱）上（见图1）。如果教师在课堂中仅要求学生按照规则练习操作，益智课堂的器具就只能停留在“玩具”层面，课堂也停留在“游戏”层面。那么如何将游戏转向思维训练活动？本课例在学生已能熟练操作器具的基础上，将训练目标聚焦在优化操作任务，使学生思维由混沌状态向头脑的心理操作转化，增强思考的逻辑性，锻炼、掌握多种思维技能。
因此，教师需要对操作要求提出限定，可用表格形式引导学生思考，表格问题要突出其思考和探索的要点，明晰各环节间的关联及所蕴含的可能性规律。
表1 “汉诺塔”操作问题探究
圆环个数 完成操作最少用几步 第一环移动位置
首先，教师要将问题聚焦于不同的环数“完成操作最少用几步”，将学生的思维焦点转向“寻找行动最有效的序列”，优化移动步骤，此为益智课堂倡导的目标之一。
其次，启发学生思考“第一环移到哪个柱上”更助于实现最优步骤，从1～8环分别探究，重点突出假设、检验、推理、判断、提炼、概括等思维技能训练。表格的使用，也为后续发现规律提供有逻辑的数据支持，利于培养学生的数学表征能力。
数学表征能力指的是使用符号、文字、图表、公示、模型等形式以及数学结构化的方式对数学核心概念、数学关系、数学问题进行关联式表达，使数学知识与数学问题之间建立一种映射，使复杂的问题变得简单、烦琐的形式变得简化的能力。
作为理解数学的一个教学手段，它有助于学生理解概念、关系或关联，形象地观察学习对象，更有兴趣地深入思考与探索，并体会数学表征是进行数学理解、交流和分析的工具。二、动手操作，关注数学推理能力
数学推理是从数和形的角度对事物进行归纳类比、判断、证明的过程，是数学发现的重要途径，也是帮助学生理解数学抽象性的有效工具。数学推理能力是通过对数学问题、数学对象、数学现象的观察、分析、实验、验证、归纳、演绎等做出新的推论，并在此过程中证明推论的合理性的能力。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，学生应“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。其中，合情推理就是一种合乎情理的推理，主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算等思维形式。
探究过程中，教师可引导学生从1个环片开始尝试。由于环数少，难度小，学生很快就能发现所用最少步数和移动位置比如，移动1个环片，最少用1步，第一环移到目标柱上；移动2个环片，最少用3步，第一环移到过渡柱上。在移动3环前，教师可提出问题：“如果不进行操作，你是否知道第一环移哪个柱上？”这里教师创设了问题情境，引导学生尝试推理。
推理过程也是论证过程，主要是依据前面2环的移动步骤，学生通过分析得出：3环要想移到目标柱上，1环和2环就得“让路”，将2环移到过渡柱上，1环移到目标柱上。这一过程，教师要对学生的回答进行纠正和提炼，帮助他们规范数学表达，进一步培养学生推理论证的严密性和条理性。
现代教育论强调“要让学生做科学，而不是用耳朵去听科学”。因此，教师还可组织学生通过操作来检验猜想。在移动4环时，教师让学生先推理第一环移到哪个柱上，最少用多少步，然后操作器具进行验证，并分组验证不同移动方式的结果，让学生体会、检验推理的过程，从中体悟数学推理过程。
三、发现规律，增强数学建模能力
模型思想是小学数学学习的十大核心概念之一，此阶段中的数学模型表现形式为一系列的概念、算法、关系、定律、公式等。参照《义务教育数学课程标准（2011年版）》的相关内容，可将建模过程简化为三个环节。
首先，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，发现和提出问题，这是数学建模的起点。“完成操作最少用几步”的目标有规律性但又较为隐蔽，在移动5个环片时，教师可要求学生不动手操作，仅根据列表从1～4环的最少步数情况找出规律（见表2）：第一环应移到哪个柱，完成操作最少用几步。此问题难度适中，提供了较为清晰的数学信息，可让学生运用已有数学知识，发现规律，增强其数学建模能力。
表2
圆环个数 完成操作最少用几步 第一环移动位置
1 1 目标柱
2 3 过渡柱
3 7 目标柱
4 15 过渡柱
5
其次，用数学符号建立方程、不等式、函数等，表示数学问题中的数量关系和变化规律。学生可通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等数学活动，完成模式抽象，建立数学模型。教师引导学生观察、思考单、双数环时，第一环的移动位置和最少步数与环片的关系，正是捕捉具有建模意义、可操作的数学信息的过程。通过思考和体验，他们可以归纳其中的规律，抽象出数学结构：单单数环时，第一环移到目标柱，双数环时，第一环移到过渡柱，并推算出完成5环操作最少用31（15×2+1）步。
最后，通过模型求出结果，并讨论结果的意义。将移动5环时发现的规律运用到6～8环的第一环移动位置及最少移动步数推算上，从一个问题的解决中总结概括出一类问题解决的数学模型，此为引导学生发现规律、培养数学建模能力的重要意义。
四、启发思考，提高数学交流与表达能力
学生的思维具有内隐性，让思维看得见、摸得着的一种重要方式就是数学表达。数学交流与表达能力是学生将自己理解和掌握的数学知识、方法、策略、思想通过口头或书面的方式呈现出来的能力。其培养与发展关键在于教师的课堂提问和追问艺术，如果问题起点低、教师表述不明等，容易缩小思考空间或无法聚焦问题核心，很难激发学生的深入思考。
有效的核心问题应该：（1）包含学习者容易理解的措词；（2）陈述简单，问题中没有混杂额外的问题或说明；（3）让学生关注课堂内容；（4）确定学生回答问题时将会用到的单个思维操作。
因此，当学生移动3个环发现最少用7步才能达到目标柱时，教师可这样提问：“怎么判断移动3个环片用7步就是最少的步骤？”这一问题简单明确，关键词“判断”是学生需要执行的思维操作，主干内容“用7步就是最少的步骤”直接服务于思维训练目标，疑问词“怎么”显示出问题的开放性，这能让学生围绕本课训练目标与教师进行更多的数学交流与表达。对学生的回答进行加工，再提出新的问题，即加工性问题，可促进学习者反思自己的初始回答，理解隐藏在表面观点背后的思想问题，激励其更全面地理解课堂内容，构建更完善的认知操作。例如，学生再次演示移动3个环片并回答：操作时发现有的步骤多，然后删掉了某些步骤。
可以看出，学生是通过尝试操作—调整优化—达到目标的路径完成的，并未注意到优化步骤过程中的关键点。这时教师可提出限定焦点的加工性问题：“以最少步骤移出的关键环节是什么？”其中，关键词“最少步骤”“关键环节”对学生的思维进行聚焦和提升，可将其回答导向更高的层次。在有效问题的激发下，学生才能进行更深入的思考，做出更高水平的回答，促进其数学理解与数学思维的发展，进一步完善思维训练活动中的认知结构。
五、凸显思想，培养解决问题的能力
数学思想是人们对数学理论与内容的本质认识，直接支配着数学的实践活动。益智课堂倡导教师不仅要重视学生对显性知识、技能的学习和训练，还应注重数学思想的指导，从而培养学生解决问题的能力。“汉诺塔”教学活动中，教师可挖掘三种数学思想，并在恰当时机进行点拨。
其一，倒推思想。它是从结果出发倒过来推想的一种思想，也是解决问题常用的一种策略，其中涉及分析、选择、判断、对比等一系列思维活动。比如，推算完成5环的最少步数，可引导学生进行倒推：最后1环要移到目标柱，前4环要先移到过渡柱再移到目标柱，已知移4环到目标柱最少要15步，那么由此推算完成5环的操作最少需要31步（15×2+1）。
其二，转化思想。它是通过观察、类比、联想等思维过程，将原问题转化为一个新问题的求解，以达到解决原问题的目的。比如，活动伊始，起始柱、过渡柱、目标柱是固定的，但随着环片数目的增多，每一环的目标柱、过渡柱都会发生转化，且在不同的移动步骤中，每一环的目标柱、过渡柱也在随时转化。用这样的认识来看待操作过程，当移动环片较多时，运用总结出的规律，易于把较复杂问题变成简单问题，把新问题变成已解决的问题。其三，递归思想。在数学教学实践中，数学思想与数学方法关系密切，思想指导方法，方法中渗透思想。例如，教师在总结5环的移动步数时，引导学生发现操作中要“看5环想4环”“看4环想3环”……这正是递归思想的体现，呈现出依次类推、“用同样步骤重复”的方法，让学生既获得思想上的认识，也得到方法上的指导。
总之，数学核心素养是在学生体验数学情境、经历数学活动、感悟数学思考的过程中产生的，而以益智器具的问题困境为思考起点，以操作探究为活动方式的益智课堂教学，是培养和发展学生数学核心素养的一个有效方法。当然，随着本研究的进一步探索，有关学生核心素养及学生思维能力的认识和实践会有所深入，对益智课堂的教学策略和方法也会进行修正和创新，使之更加完善，以期让益智课堂成为培育和提升学生数学核心素养更为有效的场所。